2004年03月25日
余数问题的通解
余数问题的通解，是指在（正）整数范围内，未知被除数Z1、Z2……Zn，除以已知除数A1，A2……，所得未知商X1,X2,…和已知余数b1,b2，……，求被除数任一项Zn。（所有数列均由小到大排列）。现以实例说明求Zn的方法。
Zn各项，除以5余4，除以11余7，除以17余12。求Zn。
（1） 列方程：
Z1＝5X1＋4 ①
Z1＝11X2＋7 ②
Z1＝17X3＋12 ③
（2） 最小值：
余数问题方程必须满足：①使各方程的值相等；②使X最小，以实现Z值最小。由式①、②得：5X1=11X2+3，由此式知：使X2最小，且使等式右边等于5的整倍数。由此，观察、试算得：X2＝2，X1＝5，Z1＝29。将Z1代入式③得X3＝1为整数，则试算成功。
（3） 通解式：
Zn等于除数的最小公倍数的（n－1）倍与Z1之和。则
Zn＝5×11×17（n－1）＋29＝935n－906 ④
由式④验算：当n＝1，Z1＝29；当n＝5，Z5＝3769；29÷5＝5余4，29÷11＝2余
7, 29÷17＝1余12；3769÷5＝75余4, 3769÷11＝342余7, 3769÷17＝221余12。
故满足题中条件。
由式④知：余数问题的通解，为一等差数列的通项，但余数问题是在（正）整数范围内研究问题。因此，等差数列的通项，不一定就是余数问题的通解。
余数问题通解的统一形式为：
Zn=(gmaxa1a2…)n±B=gminn±B ⑤
其中gmax和gmin为除数的最大公约数和最小公倍数，a1=A1÷gmax ,a2=A2÷gmax , n为项数，B= Z1－gmin ,当Z1>gmin时，式⑤中B左取“＋”，否则取“－”。
当B＝0，得整除通解为：
Zn= gminn ⑥
当B<A1且B左为“+”，得同余B的通解为：
Zn= gminn+B ⑦
当B<A1且B左为“－”，得同欠B的通解为：
Zn= gminn－B ⑧
当B＞A1且B左为“－”，得余（欠）均不同或不完全相同的通解为：
Zn= gminn－B ⑨
思考习题：
1、Zn被5和7整除，求Zn，并验证式⑥。（Zn=35n）
2、Zn除以5和7，余数均为3，求Zn，并验证式⑦。（Zn=35n+3）
3、Zn除以5和7，欠数均为3，求Zn，并验证式⑧。（Zn=35n-3）
4、Zn除以5和7，余数（欠数）分别为3（2）、4（3），求Zn，并验证式⑨。（Zn=35n-18）
5、试求除数为1整除问题的通解。（Zn=n）
6、通解Zn＝n的余数问题是什么？（除数为1的整除问题）
7、试求除数为k的整除问题的通解。（Zn＝kn）
8、通解为Zn＝kn的余数问题是什么？
9、试求除数为k，余数为k－1的余数问题的通解。（Zn＝kn＋k－1）
10、解为Zn＝kn＋k－1的余数问题是什么？
11、试求除数为k，欠数为k－1的余数问题的通解。（Zn＝kn＋1）
12、试求除数为A，欠数为k－1，且k－1<A，余数问题的通解。（Zn＝An－k＋A＋1）
13、通解为连续奇数的余数问题是什么？（除数为2，欠数为1的余数问题）
14、通解为连续偶数的余数问题是什么？（除数为2的整除问题）
15、试计算证明：Zn除以10余9，除以22余15；Zn除以10余9，除以55余4；Zn
除以22余15，除以55余4等三个余数问题通解相同。（Zn＝110n-51）
16、Zn＝35n－23的各项，除以A1余2，以A2余5，问A1，A2各多少？（A1＝5，A2
＝3）
17、试证明：以12为首项，以35为公差的等差数列的通项Zn就是Zn除以5余2，除
以7余5余数问题的通解。
18、举例说明什么样的余数问题无解？（如余数问题方程，Z1＝4X1＋3，Z1＝8X2＋6，
由两方程,4X1＝8X2＋3，无论X2为奇数或偶数，该等式右边总是奇数，任何奇数不可能成为偶数4的整倍数，故无解）
参考文献
1.曾庆安编著《小学数学奥林匹克竞赛解题方法大全》
山西教育出版社2001年9月
2.刘裕编著《数学智能培养与提高》，（小学高年级）
科学技术文献出版社1999年11月
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